Заминава през 1966 г. за Западен Берлин, където специализира при известния кардиохирург проф. Бюхлер. Остава там като лекар в Университетската болница, после се прехвърля в Западна Германия – в университета във Франкфурт на Майн и в университета във Фрайбург, където е професор от 1981 г.
През 1984 г. се завръща в България, за да извърши първата сърдечна трансплантация в България и на Балканите през 1986 г. Дълги години е директор на болницата „Св. Екатерина“. Проф. Чирков печели световна популярност и признателност за професионализма си в сферата на сърдечните болести, операции, трансплантации.
(Университетска многопрофилна болница за активно лечение „Св. Екатерина“ наскоро бе преименувана на „Проф. д-р Александър Чирков” в негова памет. Болницата е основана от самия него, бел. ред.).